Лекции и примеры решения задач механики

Угловые скорость и ускорение

Угловая скорость

Скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени называется угловой скоростью.

Обозначение: ω (омега).

  • Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c -1 ].
  • Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П1 в положение П2) – это и есть угловая скорость:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угловое ускорение

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением:

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с 2 ], [с -2 ]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает, а при отрицательном вращение замедляется.

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

    равномерное вращение (ω — const)

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это радиан:

isopromat.ru

Закон изменения угла поворота

Вращение тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Под абсолютно твердым телом понимают такое, у которого остаются неизменными расстояния между любыми его точками. Такое тело не может испытывать деформаций.При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых градусов .

Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние между двумя любыми точками остается неизменным, определить положение тела в пространстве можно с помощью всего одного числа. Этим единственыи числом может быть, например, угол φ , на который повернуто тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое.

При вращении тела вокруг неподвижной оси угол φ меняется с течением времени.

Угловая скорость . Угловая скорость w вращающегося тела – это быстрота изменения угла поворота φ (t) вокруг оси :

w = lim Δ φ / Δ t = dφ /dt

Обычно угол измеряется в радианах, время – в секундах, угловая скорость – в радианах в секунду.

Отметим важный факт: так как при вращении тела все точки тела за одно и то же время поворачиваются на один и тот же угол, то угловая скорость вращения любой точки тела одна и та же . Поэтому обычно говорят не об угловой скорости какой-то конкретной точки тела, а об угловой скорости тела вообще.

Если за малый промежуток времени Δ t тело повернется вокруг оси на угол Δ φ , то точка тела, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, переместится, пройдя по дуге окружности расстояние Δ s = R Δ φ . Разделив обе части последнего уравнения на Δ t, получим соотношение между величиной линейной скорости V точки и угловой скоростью w вращения:

D s/ Δ t = R Δ φ / Δ t

Видно, что линейная скорость точек тела при вращении, в отличие от угловой скорости, различна и зависит от радиуса окружности.

Угловое ускорение. Если тело вращается равномерно, т.е. с постоянной угловой скоростью w , то каждая точка тела движется также с постоянной по величине линейной скоростью по окружности своего радиуса. Если вращение неравномерное, т.е. угловая скорость меняется со временем (увеличивается или уменьшается), то вводят величину, характеризующую быстроту ее изменения – угловое ускорение:

b = lim Δ w / Δ t = d w /dt

Если Δ w > 0, то угловая скорость возрастает, угловое ускорение положительно; при

При t o = 0 имеем:

Здесь φ o – угол поворота в начальный момент времени.

Качение. Рассмотрим колесо радиуса R, катящееся по горизонтальной поверхности. Можно считать, что колесо участвует одновременно в двух движениях: поступательном со скоростью Vо своего центра О и вращательном с угловой скоростью w . Таким образом, скорость любой точки колеса V есть векторная сумма скоростей поступательного и вращательного движений (см. рис.). Скорость поступательного движения всех точек колеса одна и та же и по величине , и о направлению и равна V о . Угловая скорость w вращения вокруг центра колеса тоже одна и та же, линейная же скорость вращательного движения Vвращ зависит от расстояния до центра r :

и направлена по касательной к окружности – в верхней точке А колеса она совпадает по направлению со скоростью поступательного движения V о , в точках B и D она прпендикулярна V о , в центре колеса (в точке С) она равна нулю, в нижней точке О (точке, которая касается в данный момент времени горизонтальной поверхности) она направлена против V о . Скорость результирующего движения V верхней точки А будет равна

центра колеса (точки С) – только Vо , нижней точки О —

В случае качения без проскальзывания нижняя точка колеса О должна находиться в покое относительно горизонтальной поверхности. Отсюда следует , что для этой точки:

Vо — Vвращ = 0 или Vо = Vвращ = R w , где R – радиус колеса.

соотношение, позволяющее связать угловую скорость вращения колеса и скорость поступательного движения при качении. Отметим еще раз, что это справедливо лишь для случая качения без проскальзывания !

Во сколько раз конец минутной стрелки часов движется быстрее, чем конец часовой стрелки, если минутная стрелка в 1,6 раза

длиннее, чем часовая ?

Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса R (см.рис.).

Вагончик перемещается по ним, подталкиваемый стержнем О 1А, который поворачивается с постоянной угловой скоростью w 1 вокруг точки О 1, лежащей внутри кольца почти у самых рельсов. Как изменяется скорость вагончика при его движении?

Шестеренка радиуса R помещена между двумя параллельными зубчатыми рейками. Рейки движутся со скоростями V1 и V2 навстречу друг другу. Сколько оборотов делает шестеренка в единицу времени ?

На рисунке изображена плоская конструкция, состоящая из n колес, радиусы которых линейно убывают от R 1 до R n (на рис. последнее колесо нарисовано, для удобства, в увеличенном, чем следовало бы, масштабе). Первое колесо закреплено так, что оно не может вращаться. Через центр этого колеса пропущена ось О 1, вокруг которой может вращаться штанга О 1О n. На штанге закреплены оси всех остальных колес. Эти колеса могут вращаться вокруг своих осей, касаясь соседних колес. Проскальзывание между колесами отсутствует.

Штангу начинают вращать вокруг оси О 1 с угловой скоростью w о .

Найдите скорость точки М на ободе последнего колеса в тот момент, когда она отстоит от точки О 1 на максимальное расстояние.

school.komi.com

1. Основные теоретические сведения

по вращательному движению абсолютно твердого тела

ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Абсолютно твердое тело можно определить как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела, лежащие на некоторой прямой, непосредственно связанной с телом, остаются неподвижными. Такая прямая называется осью вращения тела. Все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения тела, а центры лежат на этой оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются угловое перемещение (угол поворота) , угловая скоростьи угловое ускорение

Угол поворота является скалярной величиной, которая в СИ измеряется в радианах.

Угол поворота вращающегося тела связан с числом оборотовNсоотношением:

(1)

Угловая скорость характеризует быстроту вращательного движения и определяется через производную от угла поворота тела по времени:

(2)

Элементарное угловое перемещение аксиальный вектор, его нап-равление определяетсяпо правилу правого винта. Модуль вектора углового перемещения численно равен малому углу поворота , совершенному за времяВектор угловой скороститакже, как и вектор элементарного углового перемещения , направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда видно вращение, происходящее против хода часовой стрелки. Поскольку направление угловой скорости определяется условно, вектор является псевдовектором.

По известному закону изменения со временем угловой скорости (z(t)) можно найти закон изменения угла поворота:

(3)

Изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение тела также можно представить в виде вектора направленного вдоль оси вращения тела. Нап-равление векторасовпадает с направлением векторакогда вращение ускоренное, и противоположно направлению векторапри торможении. Угловое ускорение в данный момент времени определяется через первую производную от угловой скорости или вторую производную от угла поворота тела по времени:

. (4)

Аналогично определению закона изменения угла поворота можно найти закон изменения со временем угловой скорости:

(5)

Вслучае вращения тела при из формул (3) и (5) получаются соотношения:

; (6)

(7)

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка движется вокруг этой же оси по окружности радиусом R(рис. 1). Модуль линейной скорости точки вращающегося твердого тела определяется по формуле:

(8)

Скорость для отличия от угловой часто называют линейной скоростью. Найдем выражение для вычисления вектора. Для этого определим положение точек тела с помощью радиуса-векторапроведенного из точкиО, лежащей на оси вращения (см. рис. 1). ТогдаЛинейная скоростькаждой точки твердого тела будет связана с угловой скоростью соотношением:

Быстроту изменения линейной скорости по направлению характеризует нормальное ускорение, направленное к центру окружности, а быстроту изменения линейной скорости по величине – тангенциальное ускорение, направленное по касательной к окружности. Модуль нормального ускорения определяется по формуле:

(10)

Тангенциальное ускорение точки

(11)

Полное ускорение точки при вращении определяется как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Модуль полного ускорения рассчитывается по соотношению:

(12)

Для описания вращательного движения вводятся следующие характе-ристики: момент силы момент инерции I и момент импульса В теорети-ческой механике момент импульса называют кинетическим моментом.

Момент силы величина, характеризующая вращательный эффект силы. Различают момент силы относительно точки (векторная величина) и момент силы относительно оси (проекция вектора на ось).

Моментом силы относительно точки О называется векторная величина , которая определяется векторным произведением радиуса-вектора проведенного из точкиО в точку приложения силы на вектор силы:

(13)

Индекс «О» указывает на то, что определяется относительно точки О, лежащей на оси вращения Оz. Вектор оказывается перпендикулярным

плоскости, проходящей через точкуОи вектор, и будет направлен в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силойвиден против хода часовой стрелки (рис. 2).

Моментом силы относительно оси Оz называется скалярная величина Мz, равная проекции вектора на ось Оz.Индекс «z» указывает на то, что характеристика Mz определяется относительно оси вращения Оz. Если угловая скорость направлена по оси Oz и проекция момента силы на ось вращения положительна, то такой момент силы называют вращающим, иначе – тормозящим.

Момент инерции – величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. В механике различают осевые, центробежные и полярные моменты инерции.

Моментом инерции тела относительно неподвижной оси Оzназывается скалярная величина

(14)

Nчисло материальных точек, из которых состоит тело.

Индекс «z» у момента инерции обозначает, что момент инерции определяется относительно осиОz.

В случае непрерывного распределения массы тела сумма, стоящая в формуле (14), заменяется интегралом:

. (15)

Определение интеграла (15) в общем случае представляет собой сложную задачу, но в случае вычисления моментов инерции однородных симметричных тел относительно осей, проходящих через центры масс тел и являющихся осями симметрии, задача упрощается.

Результаты вычисления моментов инерции ряда тел правильной геометрической формы относительно оси Оz, проведенной через центр масс твердого тела, приведены в таблице [1 – 3].

Формулы для вычисления момента инерции ряда тел

правильной геометрической формы относительно оси,

studfiles.net

Закон изменения угла поворота

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

8.2. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные:

1)характер изменения углового ускорения ε ;

2) начальный угол поворота φ0 ;

3) начальная угловая скорость ω0 ;

4) угол поворота φ t (или угловая скорость ω t ) для заданного момента времени t .

Дано: , , , , .

Найти: .

Решение: Так как угловое ускорение пропорционально t , то его уравнение:

.

Так как , то , а в момент времени , поэтому:

.

Тогда угловая скорость:

,

.

Так как , то и уравнение угла поворота:

.

8.4. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные:

1) закон изменения углового ускорения ε ;

2) начальный угол поворота φ0 ;

3) угловая скорость ω t для заданного момента времени t .;

Дано: , рад, , .

Найти: .

Решение: Угловое ускорение :

,

,

так как при :

с -1

.

,

,

Так как в начальный момент времени рад :

рад.

.

8.6. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные:

1)характер изменения углового ускорения ε ;

2) начальный угол поворота φ0 ;

3) начальная угловая скорость ω0 ;

4) угол поворота φ t (или угловая скорость ω t ) для заданного момента времени t .

Дано: , , , , .

Найти: .

Решение: Так как движение равноускоренное и задается уравнением :

,

В начальный момент времени:

,

В заданный момент времени:

,

И его общее уравнение:

.

.

Так как в момент времени :

, то .

Закон вращения тела вокруг оси:

.

8.12. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные:

1) закон изменения углового ускорения ε ;

2) начальный угол поворота φ0 ;

3) угловая скорость ω t для заданного момента времени t .;

Дано: , , , .

Найти: .

Решение: Угловое ускорение:

,

,

так как при :

И тогда уравнение угловой скорости:

.

,

,

так как в начальный момент времени : .

И тогда уравнение угла поворота:

.

8.14. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные:

1) закон изменения углового ускорения ε ;

2) начальный угол поворота φ0 ;

3) угловая скорость ω t для заданного момента времени t .;

Дано: , , , .

Найти: .

Решение: Угловое ускорение :

,

,

Так как при :

.

,

,

Так как в начальный момент времени :

.

.

8.21. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны закон изменения угловой скорости ω и угол поворота φ t для заданного момента времени t .

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Угловая скорость:

,

Откуда угол поворота:

,

Так как в заданный момент времени угол поворота:

,

,

И угол поворота:

.

9.2. Колесо диаметром 60см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости колеса, согласно заданному уравнению.

Определить скорость и ускорение точки обода колеса в конце второй секунды.

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Находим угловую скорость и угловое ускорение:

и .

Линейные скорости и ускорения:

, и .

Для конца второй секунды:

, , .

.

9.4. Колесо диаметром 60см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости колеса, согласно заданному уравнению.

Определить скорость и ускорение точки обода колеса в конце второй секунды.

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Находим угловую скорость и угловое ускорение:

и

.

Линейные скорости и ускорения:

,

и

.

Для конца второй секунды:

,

,

.

Полное ускорение .

9.6. Колесо диаметром 60см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости колеса, согласно заданному уравнению.

Определить скорость и ускорение точки обода колеса в конце второй секунды.

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Находим угловую скорость и угловое ускорение соответственно:

и

.

Линейные скорости и ускорения:

,

и

.

Для конца второй секунды:

,

,

.

.

9.12. Колесо диаметром 60см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости колеса, согласно заданному уравнению.

Определить скорость и ускорение точки обода колеса в конце второй секунды.

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Находим угловую скорость и угловое ускорение соответственно:

и

.

Линейные скорости и ускорения:

,

и

.

Для конца второй секунды:

,

,

.

.

9.14. Колесо диаметром 60см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости колеса, согласно заданному уравнению.

Определить скорость и ускорение точки обода колеса в конце второй секунды.

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Находим угловую скорость и угловое ускорении:

и

.

Линейные скорости и ускорения:

, и

.

Для конца второй секунды:

, ,

.

.

9.21. Колесо диаметром 60см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости колеса, согласно заданному уравнению.

Определить скорость и ускорение точки обода колеса в конце второй секунды.

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Находим угловую скорость и угловое ускорение соответственно:

и

.

Линейные скорости и ускорения:

,

и

.

Для конца второй секунды:

,

,

.

.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

www.teoretmeh.ru

Смотрите еще:

  • Налог на недвижимость как узнать размер Налог на недвижимость в 2017 году вырастет С 2016 года Правительство Российской Федерации приняло решение изменить систему расчета налога на недвижимость физических лиц. Новый порядок налогообложения будет реализован в пять этапов. Для тестирования новой схемы выборочно были отобраны 28 регионов страны, […]
  • Прокурор как будет женский род Как правильно: писатель или писательница Петрова? 20 сентября 2016 10:58 Администрация города Екатеринбурга в рамках проекта «Екатеринбург говорит правильно» обращается к вопросу о корректном употреблении параллельных названий для обозначения лиц женского пола. Специалисты справочно-информационного […]
  • Понятие и признаки закона как источника права 9. Законы: понятие, признаки, виды Закон – обладающий высшей юридической силой нормативно-правовой акт, принимаемый в особом порядке высшим представительным органом или непосредственно народом и регулирующий наиболее важные, типичные общественные отношения. Термин «закон» происходит от древнерусского «кон», […]
  • К международным уголовным преступлениям относятся Международное уголовное право Понятие, становление, принципы и источники международного уголовного права Международное уголовное право - это система принципов и норм, регулирующих сотрудничество государств в борьбе с преступлениями, предусмотренными международными договорами, как отрасль международного […]
  • Образец приказа о проведении обучения работников Образец приказа о проведении обучения работников Об организации обучения и проверки знаний требований охраны труда В целях выполнения требований положения Трудового кодекса РФ, ГОСТа 12.0.004- «Организация обучения безопасности труда», постановления Минтруда России и Минобразования России № 1/29 от […]
  • Решение суда семин Суд арестовал подозреваемого в убийстве девочки в Серпухове Суд арестовал подозреваемого в убийстве девочки в Серпухове Суд принял решение заключить под стражу жителя Серпухова Александра Сёмина, подозреваемого в убийстве пятилетней девочки, тело которой нашли в спортивной сумке. Следственный комитет РФ: […]